Как российский студент получил математическую премию благодаря потерянной тетради

Четыре года назад Фонд «Талант и успех» учредил специальную премию для поддержки молодых математиков, достигших значительных научных успехов. Её присуждает Международный математический центр «Сириус». В 2024 году премию вручали на Конференции математических центров в Санкт-Петербурге в трёх номинациях: «Молодые учёные», «Аспиранты» и «Студенты». На соискание претендовали 44 человека со всей России, чьи исследования касаются разных областей — от алгебраической геометрии и комбинаторики до математической логики и математического моделирования. Девять лауреатов получили заслуженное признание, в том числе и Николай Борозенец в номинации «Студенты».

Николай Борозенец Фото: © из личного архива Николая Борозенца

— Николай, как у вас появился интерес в математике?

— Я учился в московской школе № 179 имени выдающегося математика и педагога Николая Николаевича Константинова. Когда-то в ней учился и мой первый математический наставник Борис Назаров, и я последовал его примеру. Он первым показал мне эту науку с удивительно красивой и глубокой стороны через «систему Константинова». Суть этой методики в том, что школьнику дают минимум теоретического материала и максимальное количество задач для самостоятельного решения по различным областям внешкольной математики. Лекций нет, только личное обсуждение решений задач с преподавателем! Я считаю, что именно такой индивидуальный подход формирует самостоятельность в освоении математики и позволяет почувствовать уверенность в своих умениях. 

В старших классах под чутким руководством моего учителя Андрея Юрьевича Юркова я в деталях изучал основы теории чисел и алгебраической геометрии, активно читая академическую литературу. Тогда я понял, что хочу заниматься именно наукой, и решил поступать в Санкт-Петербургский государственный университет на недавно открывшийся факультет математики и компьютерных наук, организованный известным российским математиком и лауреатом Филдсовской премии Станиславом Константиновичем Смирновым. Для меня это была уникальная возможность.

На факультете очень сильный педагогический состав — действующие математики, известные как в России, так и за рубежом. Моим научным руководителем стал профессор Эрик Тодд Мортенсон — известный специалист по теории чисел. Начиная с первого года обучения под его руководством я делал курсовые работы, которые потом составили мою бакалаврскую дипломную работу.

Санкт-Петербургский государственный университет — один из старейших в России, в нём обучаются около 30 тысяч студентов Фото: © Konstantin Lenkov / Shutterstock / FOTODOM

— Ваш наставник занимался работами известного индийского математика Рамануджана…

— Всё верно. Сриниваса Рамануджан — талантливейший математик, человек удивительной судьбы, который жил в конце XIX и начале XX века. У него не было профессионального математического образования. Он окончил среднюю школу с отличием и получил престижную стипендию для обучения в колледже. Но закончить его Рамануджану было не суждено из-за своего повального увлечения определёнными математическими вопросами и, как следсвие, провала на экзаменах по нематематическим дисциплинам. Сринивасу интересовали в основном задачи, связанные с теорией чисел — областью математики, изучающей арифметические и не только свойства натуральных чисел.

После обучения в 1912 году Рамануджан смог устроиться работать только клерком в порт. Чудесным совпадением стало то, что главным бухгалтером там был один из сильнейших индийских математиков того времени Нарайана Айар. Именно он, зная о занятиях коллеги математикой, предложил ему написать известным английским исследователям о своей работе. Рамануджан сделал это, и его результаты были признаны и высоко оценены Годфри Харди, известным английским специалистом в теории чисел. 

Как известно, в математике главное — доказательства, но в трудах Рамануджана они были далеко не всегда

Дело в том, что он учился по книге, в которой их не было. Это двухтомное сочинение математика Джорджа Шубриджа Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики», написанное почти за четверть века до указанных выше событий. Там было собрано более 6 000 теорем и формул практически без доказательств и пояснений. Формат книги, возможно, позже повлиял на стиль Рамануджана в записи утверждений его теорем без доказательств.

Конечно, Харди это удивило. В ответе на письмо Рамануджана он написал индийскому математику, что некоторые формулы из его трудов известны, другие — нет, но ему удалось их проверить. А к третьим Харди и вовсе не удалось найти доказательств (он попросил Рамануджана их прислать). Между ними завязались не только рабочие отношения, но и большая дружба. 

Сриниваса Рамануджан жил в провинциальном городе Ироду. Он происходит из семьи тамильских брахманов. Его научный круг интересов включал теорию цепных дробей, проблему квадратуры круга, свойства бесконечных рядов, гладких чисел, разложения целых чисел, гипергеометрические функции, специальные суммы и интегралы, эллиптические и модулярные функции. Некоторые из этих областей были названы в честь его работ. Среди достижений индийского самоучки — частные решения уравнения Эйлера (связанного с задачей о четырёх кубах). А ещё он сформулировал около 120 теорем, выраженных в виде необычно сложных алгебраических равенств.

Бюст Рамануджана в саду Промышленного и технологического музея Бирлы в Калькутте (Индия) Фото: © AshLin

По настоянию Харди Рамануджан приехал в Кембриджский университет, где стал профессором. Также его приняли в Лондонское математическое общество и удостоили награды Лондонского королевского общества. Но в возрасте 31 года здоровье Рамануджана сильно ухудшилось, и он вернулся в Индию. На родине выдающийся исследователь, несмотря на болезнь, продолжал работу. Незадолго до смерти в единственном письме к Харди после возвращения домой он поделился с ним выводами о своём последнем открытии — mock-тета-функциях.

Многие направления, которыми занимался Рамануджан, остались неизученными. Большой вклад в решение поставленных им задач как раз внёс мой научный руководитель Эрик Мортенсон — один из лидирующих специалистов в области mock-тета-функций.

Также он участвовал в публикации так называемой «Потерянной тетради» Рамануджана. В последний год своей жизни индийский математик записывал все свои наработки в некую тетрадь (хотя на самом деле это были беспорядочно собранные листы бумаги со множеством разных формул практически без каких-либо пояснений и доказательств). Её случайно нашёл известный американский математик Джордж Эндрюс в одной из коробок в библиотеке Кембриджа спустя полвека после смерти Рамануджана. Это произвело настоящий фурор! Меня очень впечатлила красота науки, которую открыл индийский гений, и то, как много ещё неизученного оставалось в этой области. В своей работе я постарался внести свой вклад в понимание объектов, введённых Сринивасой Рамануджаном.

— За свою дипломную работу вы получили премию Фонда «Талант и успех» в номинации «Студент». Как она была связана с исследованиями Рамануджана?

Николай Борозенец на вручении премии Образовательного Фонда «Талант и успех» за значительные достижения в научных исследованиях в области математических наук Фото: © из личного архива Николая Борозенца

— Работа называлась «О q-рядах, комбинаторных характеристиках разбиений и некоторых вариантах модулярности». Она состояла из двух сюжетов, которые связаны с уже упоминавшимися mock-тета-функциями Рамануджана, а также с другими областями математики, в частности комбинаторикой. 

Собралось очень авторитетное конкурсное жюри из известных российских математиков — членов-корреспондентов и академиков РАН. Я благодарен жюри за их высокую оценку моей работы, победа стала высшим признанием моего труда.

«В своей работе Николай Борозенец детально исследовал комбинаторные характеристики разбиений чисел — так называемые статистики rank и сrank, которые ввёл Фриман Дайсон в 1940-х годах. Изучив, как эти статистики отклоняются от ожидаемых значений, Николай вывел представления этих функций. Он сумел найти не только новые доказательства классических результатов, но и вдохнуть новую жизнь в эту тему. Николай создал огромное многообразие новых результатов, доказанных им непосредственно или полученных как ответы на сформулированные им же гипотезы, которые уже привлекли внимание ведущих специалистов в этой области».

Эрик Мортенсон, профессор Санкт-Петербургского государственного университета; Сириус математический журнал  том 1 No 1,  с. 115-117   (2024).

Эрик Мортенсон – известный специалист по теории чисел, специальным функциям и комбинаторике Фото: © Санкт-Петербургский государственный университет

— Чему вы научились у Эрика Мортенсона?

— Он мой кумир! Меня восхищают его уверенность, дисциплинированность и настойчивость. Его пример служил для меня ориентиром на протяжении всей учёбы. Самый важный урок, который я получил от него: систематическая работа способна творить чудеса. Нужно ставить себе цели и каждый день двигаться вперёд шаг за шагом. Накопительный эффект непременно принесёт ощутимые плоды.

— Над чем вы работаете сейчас?

— Среди моих интересов остаётся теория чисел. Она тесно связана с другими областями математики. Например, последовательности натуральных чисел могут быть представлены в виде математической функции, так называемой производящей функции, что позволяет исследовать последовательность чисел методами математического анализа. Источники таких последовательностей различны: они могут происходить как из самой теории чисел и других областей математики, так и из физики. Например, можно считать количество состояний с определёнными параметрами некоторой физической теории. Переход от физической теории к «числам», естественно, упрощает задачу и позволяет получить определённые результаты, хотя, конечно, достаточно много информации неизбежно утрачивается. 

Сейчас я обучаюсь в магистратуре по математической и теоретической физике, и моё внимание больше направлено на объекты и задачи, возникающие именно в этих областях. К слову, функции Рамануджана и их «близкие родственники» находят своё место в различных областях современной математической физики — в частности, в конформной теории поля и теории струн.

Теория струн возникла в конце XX века и получила широкое распространение в нынешнем столетии. Она пытается объединить квантовую механику и общую теорию относительности, создавая единое описание фундаментальных законов Вселенной. Согласно этой теории элементарные частицы представляют собой крошечные вибрирующие нити (струны), а их свойства определяются характером колебаний этих нитей. Теория струн вызвала широкий резонанс в физике и математике, стимулировала активные исследования в смежных областях, таких как геометрия, топология, теория представлений и физика высоких энергий.

Николай Борозенец учится на магистерской программе «Математическая и теоретическая физика» в Сколтехе, в Центре перспективных исследований им. И.М. Кричевера Фото: © Сколковский институт науки и технологий

Наши последние исследования с профессором Эриком Мортенсоном проливают свет на допустимые струнные функции аффинных алгебр Каца-Муди, они же совпадают с характерами обобщённых парафермионных теорий Фатеева — Замолодчикова с точностью до некоторого простого множителя. Речь идёт о большем понимании так называемых неунитарных и нерациональных теорий, к которым ещё не разработан систематический подход, в отличие от унитарных или рациональных теорий, о которых написано очень много научных статей. Для меня остаётся удивительным, что классические mock-тета-функции Рамануджана возникают спустя более ста лет с их первого определения снова и снова. И в нашем случае — в связи с конформными теорией поля и теорией представлений.

— Принято считать, что математика помогает развивать логическое и абстрактное мышление. А вы в чём видите плюсы её изучения?

— Лично мне обучение на математическом факультете помогло развить важнейшую способность — оперативно усваивать новые знания. Информация поступает из различных источников: статей, книг, специальной литературы, видеоматериалов. Необходимо уметь быстро ориентироваться в большом её объёме, извлекать ценное и необходимое для конкретной задачи. Это важно не только в науке, но почти везде. Осваивать приходится не только технические детали, но и абстрактные концепции — например, парадигмы программирования. Во всех случаях важна быстрота освоения чего-то нового, и этому можно научиться на математическом факультете больше, чем где-либо.

Математика учит думать логически, рассуждать последовательно и находить решения сложных задач Фото: © VideoFlow / Shutterstock / FOTODOM

— Какие книги и фильмы вы рекомендуете для знакомства с математикой?

—  Из книг меня больше всего впечатлил роман Даниила Гранина «Иду на грозу» про советских учёных-физиков, которые исследуют природу грозы. Они хотят приручить её, чтобы вызывать по собственному желанию. Есть и одноименный фильм 1965 года. Если говорить про кино, многие коллеги хвалят «Человек, который познал бесконечность» (The Man Who Knew Infinity) о жизни и творчестве Сринивасы Рамануджана.

— Как вы оцениваете современное состояние науки в России?

— Сегодня в нашей стране созданы широкие возможности для учёных, особенно в области математики. Государство выделяет достаточно много средств на научные исследования. Например, недавно было объявлено, что математические центры мирового уровня в нашей стране продолжат получать финансирование до 2030 года.

Чего добились матцентры мирового уровня России в 2024 году

• Более 30 % исследований осуществлены под руководством молодых учёных до 39 лет. Общая численность коллективов центров достигла 1 200 человек.
• Разработано более 300 образовательных программ, обучение по которым прошли 22 тыс. человек.
• Проведены массовые расчёты по реконструкции электрической функциональной структуры мозга человека. Эти закономерности используются для оценки биологического возраста человека, а также для прямой оценки воздействия лекарств.
• Разработана агент-ориентированная модель АBM-АRI, обладающая большим потенциалом в решении проблемы контроля распространения новых инфекций.

Я работал в одном из таких центров — Международном математическом институте им. Леонарда Эйлера. Институт предоставлял большие возможности для трудоустройства студентов и аспирантов, и он стал моим первым местом работы. Именно благодаря этому проекту я смог сконцентрироваться на исследовательской работе и не искать дополнительного заработка.

Международный математический институт имени Леонарда Эйлера Фото: © Большая российская энциклопедия

— Какие советы вы могли бы дать молодым людям, которые хотят посвятить себя математике?

— Я убеждён, что выбор карьеры учёного должен быть мотивирован интересом к предмету. Энтузиазм и заинтересованность в науке — главные движущие силы. Без этого трудно работать. Удовлетворение приходит от личного вклада.

Тем не менее важно прокачивать и организаторские способности. Так, проведение семинаров может сильно способствовать исследовательской деятельности. Ведь именно при обсуждении с коллегами многие концепции становятся понятнее, что приводит к новым открытиям. Например, мои настоящие исследования вдохновлены обсуждениями на семинаре, прошедшем на базе института Эйлера в августе прошлого года. Там обсуждалась фундаментальная статья известного специалиста по теории чисел Дона Загира.

Часто научные результаты напрямую зависят от уровня коммуникабельности. Сотрудничество может привести к более качественным и оперативным выводам. Известный пример — история уже упоминавшегося физика Фримана Дайсона и математика Иэна Макдональда. Они оба работали в Институте высших исследований в Принстоне и время от времени виделись, так как их дочери учились в одном классе. Они думали над одной задачей, но не говорили о своей работе в силу разности специальностей. Вот почему нужно открыто делиться своими мыслями и проектами, узнавать, чем заняты окружающие вас коллеги. Впрочем, важно не только общаться с другими учёными, но и прислушиваться к собственной интуиции, отмечать интересные идеи и предлагать их сообществу.

Общение с коллегами помогает математикам обмениваться идеями, проверять гипотезы, получать обратную связь и совместно находить решения сложных задач Фото: © Stokkete / Shutterstock / FOTODOM

— Какие вызовы сейчас актуальны для науки?

— Я могу рассказать то, что интересно лично мне сейчас. Одна из важных задач физики — описание фазовых переходов, когда система внезапно меняет своё состояние. Например, при изменении температуры. Часто физические процессы протекают плавно и непрерывно, однако в точках фазовых переходов возникают резкие скачки, требующие глубокого анализа. Многие переходы были достаточно подробно описаны как в классических работах, так и совсем недавно, тем не менее полная картина остаётся неясной. 

Вообще, физики в основном считают применяемые методы успешными, если их результаты совпадают с результатами экспериментов. Они могут проводиться как на специализированных установках (например, на адронном коллайдере) с реально существующими объектами, так и на компьютерах с виртуальными системами, которые приближают реальные. Если теоретический метод даёт результаты, согласующиеся с экспериментальными данными, его признают эффективным. Но, будучи записанным на языке физики, он часто остаётся непонятым с математической точки зрения. Почему именно такая последовательность действий приводит к полученным результатам? Ответ на этот вопрос остаётся открытым, и важной задачей является достижение строгого математического понимания результатов и методов в физике. 

Одной из наиболее крупных фигур в этом направлении является научный руководитель моего факультета Станислав Константинович Смирнов. Он представил точные математические доказательства для ряда физических результатов о наиболее широко изучаемых решёточных моделях — модели Изинга и перколяции. Тем не менее множество физических результатов остаются неисследованными, и их полное математическое обоснование предстоит сформулировать в будущем.